미분적분학 바이블 1장: 함수와 극한

이 글은 James Stewart의 미분적분학(Calculus) 1장 내용을 정리한 글입니다.

1.1 함수의 정의와 표현 방법#

함수$^{function}$: $f$는 집합 $D$ 안에 있는 각 원소 $x$에 집합 $E$ 안의 오로지 하나의 원소 $f(x)$를 대응시키는 규칙이다. (p.3)

집합 $D$와 $E$가 실수의 집합인 경우에 대해 함수를 정의한다.

• 정의역$^{domain}$: 집합 $D$
• 치역$^{range}$: $x$가 정의역 전체에서 변할 때, 그에 따른 $f(x)$의 모든 가능한 값들의 집합 (p.3)

함수는 대칭성에 따라 두 가지로 분류된다. (p.8)

• 우함수$^{even\ function}$: 정의역 안의 모든 $x$에 대해 $f(-x) = f(x)$를 만족 (y축 대칭)
• 기함수$^{odd\ function}$: 정의역 안의 모든 $x$에 대해 $f(-x) = -f(x)$를 만족 (원점 대칭)

1.2 꼭 필요한 함수 목록#

수학적 모형$^{mathematical\ model}$: 인구의 규모, 생산품의 수요, 낙하 물체의 속도, 화학 반응에서 생성물의 농도, 출생 시 사람의 기대 수명 또는 배기가스 감소 비용과 같은 현실 사회 현상을 수학적으로 나타내는 것. 수학적 모형의 목적은 현상을 이해하고 미래 행동을 예측하는 것이다. (p.12)

주요 함수의 종류 (p.12)

• 선형함수$^{linear\ function}$: 함수의 그래프가 직선인 함수
• 다항함수$^{polynomial\ function}$: 항이 여러 개인 함수
• 반비례함수$^{reciprocal\ function}$: 방정식 $y=1/x$ 또는 $xy=1$을 가지며 좌표축을 점근선으로 갖는 쌍곡선 함수 ($f(x) = x^{-1} = 1/x$)
• 유리함수$^{rational\ function}$: 두 다항함수의 비로 나타내는 함수

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

함수의 변환 (p.19)

수직/수평 이동, 수직/수평 확대, 대칭 이동이 있다.

함수의 결합 (p.21)

주어진 함수 $f$와 $g$에 대해 합성함수$^{composite\ function}$ $f \circ g$는 다음과 같이 정의된다.

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

1.3 함수의 극한#

극한의 정의 (p.27)#

$x$가 수 $a$ 부근에 있을 때 $f(x)$가 정의된다고 하자. ($a$는 제외될 수 있는 수 $a$를 포함하는 어떤 개구간에서 $f$가 정의되는 것을 의미한다.)

$a$와 같지는 않지만 $x$를 $a$에 충분히 가깝게 택함으로써 $f(x)$의 값을 임의로 $L$에 가깝게 만들 수 있다면 다음과 같이 쓴다.

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

이는 "$x$가 $a$에 접근할 때 $f(x)$의 극한은 $L$과 같다"고 한다.

한쪽 극한의 정의 (p.32)#

$a$보다 작고 $a$에 충분히 가까운 $x$를 택하여 $f(x)$의 값이 임의로 $L$에 가깝게 할 수 있으면 다음과 같이 쓴다.

$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$

"$x$가 $a$에 접근할 때 $f(x)$의 좌극한은 $L$이다." (이에 반대는 우극한이다.)

극한의 필요충분조건

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$이기 위한 필요충분조건은 $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L$과 $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L$이다.

1.4 극한 계산#

극한 계산에 사용하는 법칙들이다. (p.37)

\lim_{x \to a} c &= c \quad \text{(상수 법칙)} \\[0.3em] \lim_{x \to a} x &= a \quad \text{(항등함수 법칙)} \\[0.3em] \lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] &= c \cdot \lim_{x \to a} f(x) \quad \text{(상수배 법칙)} \\[0.3em] \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] &= \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) \quad \text{(덧셈/뺄셈 법칙)} \\[0.3em] \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] &= \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \quad \text{(곱셈 법칙)} \\[0.3em] \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{(나눗셈 법칙, } \lim_{x \to a} g(x) \neq 0) \\[0.3em] \lim_{x \to a} [f(x)]^n &= \left[\lim_{x \to a} f(x)\right]^n \quad \text{(거듭제곱 법칙)} \\[0.3em] \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} &= \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \quad \text{(근호 법칙)} \\[0.3em] \lim_{x \to a} f(g(x)) &= f\!\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) \quad \text{(합성함수 법칙, } f \text{ 연속)} \end{aligned}$$ <br /> ## 1.5 연속성 ### 연속의 정의 (p.48) 다음이 성립할 때 함수 $f$는 $a$에서 **연속**이라고 한다. <br /> $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$ <br /> 위 정의는 다음 세 가지 조건을 암묵적으로 요구한다. 1. $f(a)$가 정의된다. (즉, $a$는 $f$의 정의역에 속한다.) 2. $\lim\limits_{x \to a} f(x)$가 존재한다. 3. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ 불연속의 종류 (p.50) - 제거 가능한 불연속 - 무한 불연속 - 도약 불연속 **단측 연속** (p.51) 다음이 성립할 때 함수 $f$는 **$a$에서 오른쪽으로부터 연속**이다. <br /> $$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$$ <br /> 다음이 성립할 때 함수 $f$는 **$a$에서 왼쪽으로부터 연속**이다. <br /> $$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$$ <br /> ## 1.6 무한대를 수반하는 극한 ### 무한극한 (p.60) > 일반적으로 $x$가 $a$에 접근할수록 $f(x)$ 값이 점점 더 커진다는 것을 의미하는 기호로 다음과 같이 쓴다. > $a$가 아니지만 $a$에 충분히 가까운 $x$를 택함으로써($a$의 양쪽에서) $f(x)$ 값을 임의로 크게 만들 수 있음을 의미한다. <br /> $$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$$ <br /> **수직점근선** (p.61) 다음 명제 중 적어도 어느 하나가 참이면 직선 $x = a$를 곡선 $y = f(x)$의 **수직점근선**이라 한다. - $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \infty$ - $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \infty$ - $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \infty$ - $\lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty$ - $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = -\infty$ - $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = -\infty$ ### 무한대에서의 극한 (p.63) > 함수 $f$가 어떤 구간 $(a, \infty)$에서 정의된다고 하자. > 다음 기호는 $x$를 충분히 크게 택함으로써 $f(x)$ 값을 원하는 만큼 $L$에 가깝게 만들 수 있음을 의미한다. <br /> $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$$ <br /> **수평점근선** (p.64) 다음 중 어느 하나일 때 직선 $y = L$을 곡선 $y = f(x)$의 **수평점근선**이라 한다. <br /> $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{또는} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$$ <br /> $n$이 양의 정수이면 다음이 성립한다. (p.66) <br /> $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0, \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0$$ <br /> ### 무한대에서의 무한극한 (p.68) $x$가 커질수록 $f(x)$ 값이 커지는 것을 나타내기 위해 다음 기호를 사용한다. <br /> $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ <br /> 비슷한 의미로 다음 기호를 사용한다. <br /> $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty, \quad \lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$ <br /> ### 엄밀한 정의 **무한극한의 엄밀한 정의** (p.69) 함수 $f$가 $a$를 포함하는 어떤 개구간($a$는 제외 가능함)에서 정의된다고 하자. 그러면 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \infty$는 모든 양수 $M$에 대해 다음을 만족하는 $\delta$가 존재함을 의미한다. <br /> $$0 < |x - a| < \delta \implies f(x) > M$$ <br /> **무한대에서의 극한의 엄밀한 정의** (p.70) 함수 $f$가 어떤 구간 $(a, \infty)$에서 정의된다고 하자. 그러면 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = L$은 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x > N$이면 $|f(x) - L| < \epsilon$을 만족하는 수 $N$이 존재함을 의미한다. **무한대에서의 무한극한의 엄밀한 정의** (p.71) 함수 $f$가 어떤 구간 $(a, \infty)$에서 정의된다고 하자. 그러면 $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \infty$는 모든 양수 $M$에 대해 $x > N$이면 $f(x) > M$을 만족하는 양수 $N$이 존재함을 의미한다. <br /> ## 정리 1장에서 다룬 내용은 미분적분학 전체의 토대가 되는 개념들이다. - **함수**: 정의역과 치역, 우함수/기함수의 대칭성 - **극한**: 좌극한과 우극한이 모두 같을 때 극한이 존재한다 - **연속**: 극한값과 함수값이 같을 때 연속이다 - **무한대 극한**: 수직점근선과 수평점근선으로 함수의 전체적인 거동을 파악한다