미분적분학 바이블 2장: 도함수

이 글은 James Stewart의 미분적분학(Calculus) 2장 내용을 정리한 글입니다.

2.1 미분계수와 변화율#

접선 문제 (p.80)#

접선의 기울기 $m$ 은 할선의 기울기의 극한으로 나타낸다.

점 $P(a, f(a))$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 의 접선은 (극한이 존재한다면) 다음과 같은 기울기를 갖고 $P$ 를 지나는 직선이다.

$m=\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$

$h = x - a$ 이면 $x = a + h$ 이므로 할선 $PQ$ 의 기울기를 아래처럼 표현할 수 있다.

$m_{PQ}=\frac{f(a + h)-f(a)}{h}$

속도 문제 (p.81)#

물체의 운동을 나타내는 함수 $f$ 를 물체의 위치 함수라 한다. $t=a$ 에서 $t=a+h$ 까지의 시간 구간에서 위치 변화는 $f(a+h)-f(a)$ 이다.

이 시간 구간에서의 평균 속도는 다음과 같다.

$\text{평균 속도} = \frac{\text{변위}}{\text{시간}} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

이제 매우 짧은 시간 구간 $[a, a+h]$ 에서 평균 속도를 계산한다고 하자. 즉, $h$ 가 $0$ 에 접근한다고 하자.

시각 $t=a$ 에서의 속도(또는 순간 속도) $v(a)$ 를 다음과 같이 평균 속도의 극한으로 정의한다. (p.82)

$v(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

미분계수 (p.83)#

수 $a$ 에서 함수 $f$ 의 미분계수 $^{derivative}$ 는 $f'(a)$ 로 나타내며 다음 극한으로 정의한다. (이 극한이 존재한다면)

$f'(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

변화율#

$y$ 를 어떤 양 $x$ 에 의존하는 양이라 하자. 그러면 $y$ 는 $x$ 의 함수이고 $y=f(x)$ 로 쓴다. $x$ 가 $x_1$ 에서 $x_2$ 로 변한다면 $x$ 의 변화( $x$ 의 증분)는 다음과 같다.

$\Delta x = x_2 - x_1$

그리고 이에 대응하는 $y$ 의 변화는 다음과 같다.

$\Delta y = f(x_2) - f(x_1)$

다음과 같은 차분몫을 구간 $[x_1, x_2]$ 에서 $x$ 에 대한 $y$ 의 평균 변화율이라 한다. (p.84)

$\text{평균 변화율} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

이 평균 변화율의 극한을 $x = x_1$ 에서 $x$ 에 대한 $y$ 의 순간 변화율이라 한다.

$\text{순간 변화율} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

2.2 함수로서의 도함수#

이전에 봤던 미분계수의 $a$ 변수를 $x$ 로 바꾸면 아래의 식을 얻을 수 있다. (p.88)

$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

위 함수를 도함수 $^{derivative}$ 라 한다.

미분의 다른 표기법 (p.92)

$f'(x)=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=Df(x)=D_xf(x)$

기호 $D$ 와 $\frac{d}{dx}$ 는 미분연산자라고 하는데, 이들은 도함수를 구하는 과정인 미분의 연산을 나타낸다. $\frac{dy}{dx}$ 는 라이프니츠가 도입한 기호이다.

미분 가능한 함수 (p.92)

$f'(a)$ 가 존재한다면 함수 $f$ 는 $a$ 에서 미분 가능하다고 한다. 함수 $f$ 가 구간 안의 모든 수에서 미분 가능하다면 개구간 $(a, b)$ [또는 $(a, \infty),\ (-\infty, a),\ (-\infty, \infty)$ ]에서 미분 가능하다고 한다.

연속성과 미분 가능성은 다음과 같이 연관된다. (p.93)

$f$ 가 $a$ 에서 미분 가능하면 $f$ 는 $a$ 에서 연속이다.

함수가 미분 불가능한 경우 (p.94)

미분이 불가능한 경우 3가지:

꺾인 점
불연속 점
수직접선 (완전 수직인 경우)

고계 도함수 (p.94)

$f$ 가 미분 가능한 함수이면 도함수 $f'$ 역시 함수이므로 $(f')'=f''$ 로 표현된다. 이를 2계 도함수라고 한다.

라이프니츠 표기법으로 $y=f(x)$ 의 2계 도함수는 아래와 같이 쓴다.

$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^2y}{dx^2}$

c.f. 시간에 관한 속도의 순간 변화율을 물체의 가속도 $a(t)$ 라 한다. 가속도 함수는 속도 함수의 도함수이며 위치 함수의 2계 도함수이다.

$a(t)=v'(t)=s''(t)$

3계 도함수 (p.97)

3계 도함수는 곡선 $y=f''(x)$ 의 기울기 또는 $f''(x)$ 의 변화율로 해석할 수 있다. $y=f(x)$ 일 때 3계 도함수에 대한 표기법은 다음과 같다.

$y'''=f'''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)=\frac{d^3y}{dx^3}$

2.3 기본적인 미분 공식#

상수함수의 도함수 (p.100)

$\frac{d}{dx}(c)=0$

거듭제곱 법칙 — $n$ 이 양의 정수이면 다음이 성립한다. (p.100)

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

상수배 법칙 — $c$ 가 상수이고 $f$ 가 미분 가능한 함수이면 다음이 성립한다. (p.104)

$\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)]=c\frac{d}{dx}f(x)$

합의 법칙 — $f$ 와 $g$ 가 미분 가능한 함수이면 다음이 성립한다. (p.104)

$\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)$

차의 법칙 — $f$ 와 $g$ 가 미분 가능한 함수이면 다음이 성립한다. (p.104)

$\frac{d}{dx}[f(x)-g(x)]=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x)$

사인함수와 코사인함수 (p.106)

$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$

2.4 곱과 나눗셈 법칙#

곱의 법칙 — $f$ 와 $g$ 가 미분 가능한 함수이면 다음이 성립한다. (p.112)

$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]+g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]$

나눗셈의 법칙 — $f$ 와 $g$ 가 미분 가능한 함수이면 다음이 성립한다. (p.112)

$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x)\dfrac{d}{dx}[f(x)]-f(x)\dfrac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2}$

삼각함수의 도함수 (p.116)

$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x \qquad \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x \qquad \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x$

$\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x \cot x \qquad \frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x \tan x \qquad \frac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^2 x$

2.5 연쇄법칙#

위에서 배운 미분 공식으로는 합성함수를 미분할 수 없다. (p.119)

예) $F(x)=\sqrt{x^2+1}$

위 함수는 $y=f(u)=\sqrt{u}$ 와 $u=g(x)=x^2+1$ 이라 하면 $y=F(x)=f(g(x))$ , 즉 $F=f\circ g$ 로 쓸 수 있다.

합성함수 $f\circ g$ 의 도함수는 $f$ 와 $g$ 의 도함수들의 곱과 같다. 이를 연쇄법칙이라고 한다.

해석: $\frac{du}{dx}$ 를 $x$ 에 대한 $u$ 의 변화율, $\frac{dy}{du}$ 를 $u$ 에 대한 $y$ 의 변화율, $\frac{dy}{dx}$ 를 $x$ 에 대한 $y$ 의 변화율이라고 한다면, 만일 $u$ 가 $x$ 보다 두 배 빠르게 변하고 $y$ 가 $u$ 보다 세 배 빠르게 변한다면 $y$ 는 $x$ 보다 여섯 배 빠르게 변할 것이다.

라이프니츠 표기:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$

프라임 기호 표기:

$F'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)$

연쇄법칙과 결합된 거듭제곱 법칙 (p.123)

$\frac{d}{dx}(u^n)=nu^{n-1}\frac{du}{dx} \qquad \text{또는} \qquad \frac{d}{dx}[g(x)]^n =n[g(x)]^{n-1}\cdot g'(x)$

2.6 음함수의 미분법#

양함수 $^{explicit\ function}$ : 하나의 변수를 다른 변수를 통해 정의되는 함수 (예: $y=\sqrt{x^3+1}$ ) (p.128)
음함수 $^{implicit\ function}$ : 여러 개의 변수 사이 관계로 정의되는 함수 (예: $x^2+y^2=25$ )

음함수를 미분하기 위해 음함수의 미분법을 이용한다. 양변을 $x$ 에 대해 미분하고 그 결과를 $y'$ 에 대해 푸는 것이다.

예) $x^2+y^2=25$ 를 음함수의 미분법을 사용해서 미분하면 (p.129)

양변을 미분한다.

$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2)=\frac{d}{dx}(25)$

$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2)=0$

$y^2$ 은 $x$ 변화율에 직접적으로 영향을 받지 않기 때문에 $y$ 를 추가하여 연쇄법칙을 사용한다.

$\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dy}(y^2)\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}$

$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

$\dfrac{dy}{dx}$ 에 대해 풀면 다음을 얻는다.

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

2.7 관련된 비율#

관련 비율 문제 (p.134): 조금 더 측정이 쉬운 값이 있는 서로 다른 양의 변화율 값이 있을 때, 측정이 쉬운 값을 이용해 다른 양의 변화율을 계산하는 것이다.

예) 둥근 기구 안으로 공기를 불어넣을 때 기구의 부피는 $100\ \text{cm}^3/\text{s}$ 의 비율로 증가한다. 지름이 $50\ \text{cm}$ 일 때 기구의 반지름은 얼마나 빨리 증가하는가?

주어진 정보 확인
- 주어진 정보: 공기의 부피 증가율은 $100\ \text{cm}^3/\text{s}$
- 미지의 정보: 지름이 $50\ \text{cm}$ 일 때 반지름의 증가율
$V$ $V$ 를 기구의 부피, $r$ $r$ 을 반지름이라고 하자. 부피와 반지름은 모두 시간 $t$ $t$ 의 함수이다.
- 주어진 정보: $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$
- 미지의 정보: $r=25\ \text{cm}$ 일 때 $\dfrac{dr}{dt}$
$\dfrac{dV}{dt}$ 와 $\dfrac{dr}{dt}$ 을 연결하기 위해 구의 부피 공식으로 $V$ 와 $r$ 을 연관시킨다.

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

양변을 $t$ 로 미분한다. 우변은 연쇄법칙을 사용한다.

$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$

미지의 양에 대해 풀어준다.

$\frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dV}{dt}$

$r=25\ \text{cm}$ 와 $\dfrac{dV}{dt}=100$ 을 대입한다.

$\frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi (25)^2}\cdot 100=\frac{1}{25\pi}$

2.8 선형 근사와 미분#

$x$ 가 $a$ 부근에 있을 때 점 $(a, f(a))$ 에서 $f$ 의 접선을 곡선 $y=f(x)$ 의 근사로 이용한다. (p.140)

접선의 방정식:

$y=f(a)+f'(a)(x-a)$

다음과 같은 근사식을 $a$ 에서 $f$ 의 선형 근사 $^{linear\ approximation}$ 또는 **접선 근사 $^{tangent\ line\ approximation}$ **라 한다.

$f(x)\approx f(a) + f'(a)(x-a)$

즉, 하나의 접선을 통해 접점 외 근접해 있는 함수 값을 근사해서 보는 것이다.

물리학에서도 많이 응용된다. (p.143)

정리#

미분계수: $f'(a)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ — 접선의 기울기이자 순간 변화율
도함수: 미분계수의 $a$ 를 $x$ 로 바꾼 함수 $f'(x)$
기본 미분 공식: 상수, 거듭제곱, 상수배, 합, 차, 삼각함수
곱의 법칙 / 나눗셈의 법칙: 두 함수의 곱 또는 나눗셈 미분
연쇄법칙: 합성함수의 미분 — $F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$
음함수의 미분법: 양변을 $x$ 로 미분 후 $y'$ 에 대해 풀기
관련 비율: 연쇄법칙으로 서로 다른 변화율 연결
선형 근사: 접선으로 함수 값 근사

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