미분적분학 바이블 3장: 도함수의 응용

이 글은 James Stewart의 미분적분학(Calculus) 3장 내용을 정리한 글입니다.

3.1 최댓값과 최솟값#

최적화 문제들은 함수의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 문제로 귀결된다. (p.150)

$c$가 $f$의 정의역 $D$ 안에 있는 수라고 하자. 그러면 $D$ 안의 모든 $x$에 대해

• $f(c) \ge f(x)$이면 $f(c)$는 $D$에서 $f$의 **최댓값$^{absolute\ maximum}$**이다.
• $f(c) \le f(x)$이면 $f(c)$는 $D$에서 $f$의 **최솟값$^{absolute\ minimum}$**이다.

$f$의 최댓값과 최솟값을 $f$의 **극값$^{extreme\ values}$**이라고 한다.

$x$가 $c$ 부근에 있을 때

• $f(c) \ge f(x)$이면 수 $f(c)$는 $f$의 **극댓값$^{local\ maximum}$**이다.
• $f(c) \le f(x)$이면 수 $f(c)$는 $f$의 **극솟값$^{local\ minimum}$**이다.

페르마 정리$^{Fermat's\ Theorem}$ (p.152)

$f$가 $c$에서 극댓값 또는 극솟값을 가지고 $f'(c)$가 존재하면 $f'(c)=0$이다. (역은 성립하지 않는다.)

임계수 (p.154)

함수 $f$의 **임계수$^{critical\ number}$**는 $f'(c)=0$이거나 $f'(c)$가 존재하지 않는 $f$의 정의역 안의 수 $c$이다.

3.2 평균값 정리#

롤의 정리$^{Rolle's\ Theorem}$ (p.157)

함수 $f$가 아래 세 가지 조건을 만족한다고 하자.

• $f$는 폐구간 $[a,b]$에서 연속이다.
• $f$는 개구간 $(a,b)$에서 미분 가능하다.
• $f(a) = f(b)$

그러면 $f'(c)=0$인 수 $c$가 $(a,b)$ 안에 존재한다.

평균값 정리 (p.159)

함수 $f$가 아래 조건을 만족한다고 하자.

1. $f$는 폐구간 $[a,b]$에서 연속이다.
2. $f$는 개구간 $(a,b)$에서 미분 가능하다.

그러면 다음을 만족하는 수 $c$가 $(a,b)$에 존재한다.

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

또는 동치인 다음 명제를 만족한다.

$f(b)-f(a)= f'(c)(b-a)$

쉽게 말하면: "평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는 점이 반드시 존재한다."

평균값 정리는 미분법의 몇 가지 기초적인 사실들을 입증하기 위해 쓰일 수 있다. (p.162 따름정리 참고)

3.3 도함수와 그래프의 모양#

미적분학에 대한 대부분의 응용은 도함수의 정보로부터 함수 $f$에 관한 사실들을 유추해내는 능력에 달려있다. (p.164)

$f'$이 $f$에 대해 알려주는 것

증가/감소 판정법

(a) 어떤 구간에서 $f'(x)>0$이면 그 구간에서 $f$는 증가한다. (b) 어떤 구간에서 $f'(x)<0$이면 그 구간에서 $f$는 감소한다.

1계 도함수 판정법

$c$를 연속함수 $f$의 임계수라고 하자. (a) $f'$이 $c$에서 양에서 음으로 바뀌면 $f$는 $c$에서 극대이다. (b) $f'$이 $c$에서 음에서 양으로 바뀌면 $f$는 $c$에서 극소이다. (c) $f'$이 $c$에서 부호가 바뀌지 않으면 $f$는 $c$에서 극대도 극소도 아니다.

$f''$이 $f$에 대해 알려주는 것 (p.167)

구간 $I$에서 $f$의 그래프가 모든 접선보다 위에 놓여있을 때 $f$는 $I$에서 위로 오목$^{Concave\ Upward}$(아래로 볼록)이라 한다. 구간 $I$에서 $f$의 그래프가 모든 접선보다 아래에 놓여있을 때 $f$는 $I$에서 아래로 오목$^{Concave\ Downward}$(위로 볼록)이라 한다.

변곡점 (p.168)

$f$가 곡선 $y=f(x)$의 한 점 $P$에서 연속이고, 그 점에서 곡선이 위로 오목에서 아래로 오목 또는 아래로 오목에서 위로 오목으로 바뀐다면, 점 $P$를 **변곡점$^{inflection\ point}$**이라 한다.

오목성 판정법 (p.168)

(a) $I$ 안의 모든 $x$에 대해 $f''(x)>0$이면 $f$의 그래프는 $I$에서 위로 오목이다. (b) $I$ 안의 모든 $x$에 대해 $f''(x)<0$이면 $f$의 그래프는 $I$에서 아래로 오목이다.

2계 도함수 판정법 (p.169)

$f''$이 $c$ 부근에서 연속이라고 하자. (a) $f'(c)=0$이고 $f''(c)>0$이면 $f$는 $c$에서 극소를 갖는다. (b) $f'(c)=0$이고 $f''(c)<0$이면 $f$는 $c$에서 극대를 갖는다.

3.4 곡선 그리기#

SKIP (p.172)

3.5 최적화#

극값을 구하는 방법을 통해 최적화 문제를 풀어본다. (p.180) 넓이, 부피, 이윤을 최대화하는 문제와 거리, 시간, 가격 등을 최소화하는 문제들이 있다.

최적화 문제 풀이 단계

1. 문제를 이해한다. 이해될 때까지 주의 깊게 읽고 다음을 구해보자: 구하려는 값, 주어진 값, 주어진 조건
2. 그림을 그린다.
3. 기호로 나타낸다. 최대화/최소화할 양에 대해 기호를 부여한다. (이것을 $Q$라고 하자) 또한 다른 미지의 양에 대해 기호를 선택하고 그림에 표시한다. (예: 넓이는 $A$, 높이는 $h$, 시간은 $t$ 등)
4. $Q$를 3단계에서 선택한 다른 기호들로 나타낸다.
5. 4단계에서 $Q$가 하나 이상의 변수를 갖는 함수로 표현된다면, 주어진 정보를 이용하여 변수들의 관계를 찾아 방정식으로 나타낸다. 이를 이용하여 $Q$의 표현식에서 변수를 소거해 $Q=f(x)$로 표현한다. 이 함수의 정의역도 구한다.
6. 3.1절과 3.3절의 방법으로 $f$의 최댓값 또는 최솟값을 구한다.

문제 예제는 p.181~ 참고

3.6 뉴턴의 방법#

5차 이상의 다항함수나 삼각함수가 포함된 초월방정식의 정확한 근을 구할 수 있는 공식은 없다. (p.190)

예를 들어 다음 방정식의 해를 구한다고 하자.

$48x(1+x)^{60}-(1+x)^{60}+1=0$

수치적인 근은 대부분 뉴턴-랩슨 방법$^{Newton\text{-}Raphson\ method}$, 줄여서 **뉴턴의 방법$^{Newton's\ method}$**을 이용한다.

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

$n$이 커짐에 따라 수열 $x_n$이 $r$에 더욱 가까워지면 그 수열은 $r$로 수렴한다고 하고 다음과 같이 나타낸다.

$\lim_{n \to \infty} x_n = r$

다만, 모든 함수에 적용되지 않을 수 있다. 오히려 전개해 갈수록 값이 부정확해지거나 계산이 매우 느리게 수렴하는 함수가 있을 수 있다.

3.7 역도함수#

구간 $I$ 안의 모든 $x$에 대해 $F'(x)=f(x)$이면, 함수 $F$를 $I$에서 $f$의 **역도함수$^{antiderivative}$**라고 한다. (p.196)

$F$가 구간 $I$에서 $f$의 역도함수이면 구간 $I$에서 $f$의 가장 일반적인 역도함수는 $F(x)+C$이다. 여기서 $C$는 임의의 상수이다.

정리#

• 최댓값/최솟값: 정의역 전체에서의 극값 — 임계수에서 후보 탐색
• 페르마 정리: 극값이 존재하면 $f'(c)=0$ (역은 불성립)
• 롤의 정리: $f(a)=f(b)$이면 $f'(c)=0$인 $c$가 반드시 존재
• 평균값 정리: 평균 변화율 = 순간 변화율인 점이 반드시 존재
• 증가/감소: $f'>0$이면 증가, $f'<0$이면 감소
• 오목성: $f''>0$이면 위로 오목, $f''<0$이면 아래로 오목
• 최적화: 변수 설정 → 목적함수 수립 → 도함수로 극값 탐색
• 뉴턴의 방법: 접선을 이용해 방정식의 근을 수치적으로 근사
• 역도함수: $F'(x)=f(x)$를 만족하는 $F(x)$ — 일반해는 $F(x)+C$